出題範囲
- 数列
- 図形と方程式
- 数と式・二次関数
- 微分・積分
- ベクトル
例題に挑戦
スキルサートのAIが生成した演習問題のサンプルです。アプリでは毎週新しい問題が追加されます。
例題1
関数 f(x) = x^2 - 4x + 3 のグラフ上の点 (3, 0) における接線の方程式を求めなさい。
- y = x - 3
- y = 4x - 12
- y = -2x + 6
- y = 2x + 6
- y = 2x - 6
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正解: y = 2x - 6
まず、関数の導関数 f'(x) = 2x - 4 を求めます。接点の x 座標が 3 であることから、接線の傾きは f'(3) = 2(3) - 4 = 2 となります。点 (x1, y1) を通り傾き m の直線の方程式は y - y1 = m(x - x1) で表されるため、点 (3, 0) における接線の方程式は y - 0 = 2(x - 3) を整理して y = 2x - 6 となります。正解は『y = 2x - 6』です。
例題2
定積分 ∫(1から2まで) (3x^2 - 4x + 1) dx の値を求めなさい。
- 1
- 4
- 2
- 3
- 0
解答と解説を見る
正解: 2
定積分の計算を行います。まず、被積分関数 3x^2 - 4x + 1 の不定積分を求めると x^3 - 2x^2 + x + C となります。定積分を計算すると [x^3 - 2x^2 + x] (1から2まで) = (2^3 - 2・2^2 + 2) - (1^3 - 2・1^2 + 1) = (8 - 8 + 2) - (1 - 2 + 1) = 2 - 0 = 2 となります。したがって、求める値は 2 です。正解は『2』です。
重要用語
- 等差数列
- 隣り合う項の差が常に一定である数列のことです。その一定の差を「公差」と呼びます。初項をa、公差をdとすると、第n項は a+(n-1)d という公式で求められます。試験では一般項の決定や、数列の和の公式（初項と末項、項数を用いた計算）を利用する問題が非常に多く出題されるため、基本として確実にマスターすべき項目です。
- 等比数列
- 隣り合う項の比が常に一定である数列のことです。その一定の比を「公比」と呼びます。初項をa、公比をrとすると、第n項は a・rの(n-1)乗で表されます。等比数列の和の公式は、公比が1か否かで形が変わる点に注意が必要です。図形の面積や複利計算など、応用範囲が広く、公式の正確な暗記と使い分けが合格の鍵となります。
- 一般項
- 数列の第n項を、nを用いた式で表したものです。一般項が分かれば、nに特定の数値を代入することで、その数列の任意の項の値を直接求めることができます。数列の問題を解く上での出発点となることが多く、等差・等比数列の基本公式だけでなく、複雑な数列において規則性を見出し、nの式として定式化する能力が試験では問われます。
- 階差数列
- ある数列の隣り合う項の差をとって新しく作った数列のことです。元の数列の一般項を求める際に、階差数列の和を利用する手法が頻出します。公式「a_n = a_1 + Σb_k」を用いる際は、n≧2という条件を忘れないことが重要です。一見規則性がない数列でも、差をとることで等差や等比数列が見えてくる場合に非常に有効な手段となります。
- Σ（シグマ）記号
- 数列の和を簡潔に表現するための記号です。Σの上下にある数値や文字は、足し合わせる範囲（開始と終了）を示します。k、kの2乗、kの3乗の和の公式を暗記することは、2級合格において必須の準備です。また、性質として定数倍の外出しや和・差の分解ができるため、複雑な計算を効率的に進めるために正しく使いこなす必要があります。
- 漸化式
- 数列の前の項と次の項の関係を示した等式です。この式を解いて一般項を求める問題は、2級の重要テーマです。等差・等比型、階差型、そして特性方程式を用いる型など、典型的なパターンがいくつか存在します。各パターンの解法手順を整理し、未知の漸化式を既知の形に変形するテクニックを磨くことが、試験対策として非常に有効です。
- 数学的帰納法
- 自然数nに関する主張がすべてのnで成り立つことを証明する手法です。「n=1で成り立つことを示す」「n=kで成り立つと仮定し、n=k+1でも成り立つことを示す」という2段階を踏みます。等式の証明だけでなく、不等式や倍数の証明にも用いられます。記述式試験においては、論理の組み立て方や記述の正確さが得点に直結する重要な単元です。
- 群数列
- 一定の規則に従って、数列を「群（グループ）」に区切って考える問題です。第n群に含まれる項の数や、第n群の最初の項が元の数列の何項目にあたるかを特定することが解法のポイントとなります。「第m群のk番目」という情報を、元の数列の第何項かに変換する力が試されます。各群内の規則性と群同士のつながりを整理することが攻略のコツです。
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