出題範囲
- 1次：計算技能検定（基本計算・式変形・典型問題）
- 数列と極限
- 関数と極限・連続
- 微分法（数学Ⅲ）と応用
- 積分法（数学Ⅲ）と応用
- 複素数平面
- 式と曲線（二次曲線・極座標・媒介変数）
- 行列と一次変換
- ベクトル（平面・空間）
- 場合の数と確率・確率分布
- 統計的な推測（標本・推定・検定）
- 2次：数理技能検定（記述・証明・応用問題）
例題に挑戦
スキルサートのAIが生成した演習問題のサンプルです。アプリでは毎週新しい問題が追加されます。
例題1
ある一次変換 $f$ によって、点 $(1, 2)$ が点 $(3, 1)$ に、点 $(2, 3)$ が点 $(5, 2)$ に移される。この一次変換 $f$ の表現行列として正しいものを求めよ。
- $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
- $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$
- $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
- $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
- $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
解答と解説を見る
正解: $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
求める表現行列を $A$ とおくと、与えられた条件から $A \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ および $A \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$ が成り立ちます。これを行列の積の形にまとめると、$A \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ となります。
例題2
行列 $A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ の固有値と、それぞれの固有値に対応する固有ベクトル（定数倍を除く）の組み合わせとして正しいものを求めよ。
- 固有値: $2, 3$、固有ベクトル: $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$
- 固有値: $-2, -3$、固有ベクトル: $\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$
- 固有値: $1, 6$、固有ベクトル: $\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$
- 固有値: $2, -3$、固有ベクトル: $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$
- 固有値: $2, 3$、固有ベクトル: $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$
解答と解説を見る
正解: 固有値: $2, 3$、固有ベクトル: $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$
行列 $A$ の固有値を $\lambda$ とすると、固有多項式は $\det(A - \lambda E) = (4 - \lambda)(1 - \lambda) - (-2)\cdot 1 = \lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0$ となります。これを解くと固有値は $\lambda = 2, 3$ です。$\lambda = 2$ のとき、$(A - 2E)\mathbf{x} = \mathbf{0}$ より $\begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ となり、固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ になります。
重要用語
- 逆関数
- 関数y=f(x)において、xとyの対応関係を入れ替えた関数を指します。元の関数の値域が逆関数の定義域となり、グラフは直線y=xに関して対称となります。準1級では、逆関数が存在するための条件（単調増加・減少）や、元の関数との合成が恒等関数になる性質を理解しておくことが重要です。
- 合成関数
- 2つの関数f(x)とg(x)に対し、f(g(x))のように一方の関数の出力をもう一方の入力とする関数です。記号(f∘g)(x)で表されます。定義域に注意が必要で、g(x)の値域がf(x)の定義域に含まれている必要があります。微分法（合成関数の微分）の基礎となるため、計算手順を確実に習得しましょう。
- 数列の極限
- 数列の項の番号nを限りなく大きくしたときに、値がある一定の値αに近づくことを指します。このとき数列はαに収束するといい、近づかない場合は発散するといいます。準1級では、不定形の解消（有理化や最高次での括り出し）や、はさみうちの原理を用いた高度な極限計算が頻出します。
- 関数の極限
- 変数xがある値aに近づくとき、関数f(x)の値が一定の値Lに近づく状態を指します。左極限と右極限が一致する場合のみ、極限値が存在すると定義されます。xが無限大に向かう場合や、三角関数・指数関数を含む極限公式の活用が、微分の定義やグラフの漸近線を考える上で不可欠です。
- 関数の連続性
- 関数f(x)において、点x=aで極限値が存在し、かつその値が関数値f(a)と等しいとき、関数はその点で連続であると言います。グラフが途切れずつながっている状態を数学的に示したものです。準1級では、区間全体で連続であることの証明や、連続関数の性質を利用した問題が出題されます。
- 中間値の定理
- 閉区間[a, b]で連続な関数f(x)において、f(a)とf(b)の間の任意の値kに対し、f(c)=kを満たすcがaとbの間に少なくとも1つ存在するという定理です。特に関数の値の符号が変化する場合、その間に解（f(c)=0）が存在することを示す「存在証明」の道具として非常に重要です。
- 無限等比級数
- 初項a、公比rの等比数列の項を無限に足し合わせたものです。公比の絶対値が1未満（|r|<1）のときのみ収束し、その和はa/(1-r)で求められます。準1級では、図形の面積や長さが無限に続く問題に応用されることが多く、収束条件の判定と和の公式の正確な運用が求められます。
- ネイピア数
- 数学定数e（約2.718）のことで、(1 + 1/n)^nにおいてnを無限大に飛ばしたときの極限値として定義されます。自然対数の底であり、指数関数e^xや対数関数log xの微分・積分において中心的な役割を果たします。極限計算において、ネイピア数の定義式を変形して利用するパターンは頻出です。
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